プットのデルタ

コールのデルタとプットのデルタの関係。

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プットのデルタはどうなるの

以下の記事で、原資産の現在価格を変化させることで「コール」のデルタがどう変化するかを確認してみました。

こうなると、当然のことながら「プット」のデルタについても知りたくなります。

コールで行ったデルタの計算をプットでも行ってみましょう。前提条件はコールのデルタを計算した時と同じです。

原資産の現在価格が800円の場合

さっそく始めていきます。権利行使価格800円に対し、現在価格が800円というATMのケースです。

原資産価格の値動き

現在800円の原株は、1期間の2項モデル（上昇:+50％、下落:-50%）に従うと、満期において以下の2通りの値を取ります。

原資産価格の値動きは、以下のように計算できます。

原資産価格の値動き = 上昇価格 - 下落価格 = 1200円 - 400円 = 800円

ここまではコールの場合と同じです。

オプション価格の値動き

コールのオプション価格の値動きを確認するにあたり、上昇のケースと下落のケースのmax(S-K, 0)の計算を行いました。 プット場合はSとKの位置が入れ替わり、max(K-S, 0)を考えます。

2通りの株価に対するプットの価値は以下のようになります。ただし、Sは株価、Kは権利行使価格（800円）です。

オプション価格の値動き = 原株上昇の価格 - 原株下落の価格 = 0円 - 400円 = -400円

デルタの計算

それぞれの値動きが確認できたので、デルタを計算します。

$ \varDelta = \frac{オプション価格の値動き}{原資産価格の値動き} $

$ \varDelta = \frac{-400円}{800円} = -0.5 $

したがって、$\varDelta = -0.5$ということになります。

ATMのコールのデルタは0.5でしたが、プットの場合は符号が反転して-0.5になりました。 それもそのはずで、原資産価格が上昇すると、プットの価格は下がる関係にあるからです。

また、デルタを「権利行使される確率」と見るなら、プットの場合はデルタの絶対値を取れば良いことになります。

原資産の現在価格が900円の場合

コールのデルタの計算で行ったように、現在の原資産価格を動かすと、プットのデルタ値がどう変化するかみてみましょう。

原資産価格の値動き

現在900円の原株は、1期間の2項モデル（上昇:+50％、下落:-50%）に従うと、満期において以下の2通りの値を取ります。

原資産価格の値動き = 上昇価格 - 下落価格 = 1350円 - 450円 = 900円

オプション価格の値動き

2通りの株価に対するプットの価値は以下のようになります。ただし、Sは株価、Kは権利行使価格（800円）です。

オプション価格の値動き = 原株上昇の価格 - 原株下落の価格 = 0円 - 350円 = -350円

デルタの計算

それぞれの値動きが確認できたので、デルタを計算してみましょう。

$ \varDelta = \frac{オプション価格の値動き}{原資産価格の値動き} $

$ \varDelta = \frac{-350円}{900円} = -0.3889 $

したがって、$\varDelta = -0.3889$ということになります。

ATMのプットは$\varDelta = -0.5$でしたので、プットが権利行使される確率は50%でした。 原資産価格800円に対し権利行使価格も800円ですので、少しでも原株が値下がればITMとなります。

原資産価格900円の場合は100円以上の値下がりがないとITMになりません。権利行使される確率が50%より低いことには納得がいきます。

コールとプットの関係

権利行使価格が同じコールとプットは、どちらかの権利行使される可能性が上がれば、もう片方の可能性は下がるという関係にあります。 また、片方が権利行使可能ならもう片方は権利行使不能であるとも言えます。 これを0と1で表現すれば、組み合わせは0-1か1-0のいずれかで、合計すれば常に1です。

原資産価格が900の「コール」のデルタは$\varDelta = 0.61111$でした。 「プット」のデルタは先ほど確認したように$\varDelta = -0.3889$です。プットの絶対値を取り、足し合わせると1になります。

$ コールの\varDelta + プットの|\varDelta| = 1%$