オプション売買の基礎固め

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()

from scipy.stats import norm

mean=50
sd=10
bins = np.arange(20, 80)-0.5

xn = np.linspace(min(bins), max(bins), 1000)
yn = norm.pdf(xn,loc=mean,scale=sd)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(xn,yn)
plt.show()

from scipy.stats import lognorm

mu_ln = 2
sigma_ln = 1
bins = np.arange(0, 41)-0.5

x = np.linspace(min(bins), max(bins), 10000)
lognorm_pdf = lognorm.pdf(x,s=sigma_ln,scale=np.exp(mu_ln))
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, lognorm_pdf)
plt.show()

cp=40
ev=0.16
v=0.2
t=0.5

mean = np.log(cp) + (ev - v**2 / 2 ) * t
print(mean)
#3.758879454113936

sd = v * np.sqrt(t)
print(sd)
#0.14142135623730953

n2sd = mean - sd * 2
print(n2sd)
#3.476036741639317

p2sd = mean + sd * 2
print(p2sd)
#4.041722166588555

n2sd_p = np.exp(n2sd)
print(n2sd_p)
#32.33133040370367

p2sd_p = np.exp(p2sd)
print(p2sd_p)
#56.924291552219415

1年目	2年目	3年目	4年目	5年目
15％	20%	30%	-20%	25%

これらの算術平均は14％となる。しかし、投資家がこの株式に5年投資したとしても、実際の収益率は年率14％には届かない。 当初の投資額を100ドルとすると、5年後には、

$100 \times 1.15 \times 1.20 \times 1.30 \times 0.80 \times 1.25 = 179.40ドル$

の価値になるはずである。一方、14％の複利の収益率の場合は、

$100 \times 1.14^5 = 192.54ドル$

となる。実際、この例における投資家の年複利収益率の平均は、

$(1.7940)^{\frac{1}{5}} -1 = 0.124$

つまり、年率12.4%である。

この例は、それぞれの年から得た収益率の平均と、数年に渡る平均年複利収益率の年率は必ずしも一致しないことを示している。

つまり、各年の収益率が同一でない限り、異なる値の算術平均が幾何平均よりも常に大きくなるのと同じ理由で、前者は常に後者を上回ると言える。

収益率を計る期間を次第に短くし、計測回数を増やすと、以下の2つの収益率が得られる。

1. 微小期間の期待収益率
2. 長期間の連続複利での期待収益率

これらを比べると1の方が2より大きくなり、微小期間の期待収益率は$\mu$であるのに対し、連続複利期待収益率は$\mu - \frac{\sigma ^2}{2}$である。

期待収益率（expected return）は、上記のどちらかを指す曖昧な用語だということが分かる。

ボラティリティ

株価のボラティリティ（σ）は、その株式から得られる収益についての不確かさを判断する基準となるものである。

$\tag{A} \ln S_T \text{\textasciitilde} \phi [\ln S + (\mu - \frac{\sigma ^2}{2})T, \sigma \sqrt{T}]$

式Aから、ボラティリティを次のように定義することができる。

$\sigma \sqrt{T}$は時間Tを経過した株価の変化率の標準偏差とみなせる。 年率30%とすると、1年後における株価の標準偏差は約30%、6か月後の変化の標準偏差は約21.2%（$= 30 \sqrt{0.5}$）、 3か月後の変化率の標準偏差は約15%（$= 30 \sqrt{0.25}$）となる。

正確には、時間Tを経過した$\ln S$の変化率の標準偏差が$\sigma \sqrt{T}$であると言うことができる。

将来の株価についての不確かさの標準偏差（ボラティリティ）による評価は、対象とする将来の期間の平方根に比例し増加する（線形の増加ではない）。

ヒストリカル・ボラティリティ

株価データを使用して、ボラティリティを推定すことができる。通常は定期的に観測された株価（日次、週次、月次）のデータが用いられる。

$\mu _i = \ln (\frac{S_i}{S _{i-1}})$

とすると、$u_i$の標準偏差の推定値は$s$は、

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \displaystyle\sum_{i=1}^n (u_i - \bar{u})^2}$

つまり、

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2 - \frac{1}{n(n-1)} ( \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i ) ^2}$

で求められる。ここで、$\bar{u}$は$u_i$の平均である。

$\tag{A} \ln S_T \text{\textasciitilde} \phi [\ln S + (\mu - \frac{\sigma ^2}{2})T, \sigma \sqrt{T}]$

式Aから、$u_i$の標準偏差は$\sigma \sqrt{\tau}$であるので、変数sは$\sigma \sqrt{\tau}$の推定値となる。 よって、$\sigma$自身は次の$\hat{\sigma}$として推定できる。

$\hat{\sigma} = \frac{s}{\sqrt{\tau}}$

この推定値の標準誤差は、$\frac{\hat{\sigma}}{2n}$で近似される。

nとして適当な値を選択するのは容易ではない。通常、データが多いほと正確な結果が得られるが、$\sigma$は時間と共に変kすることから、 古すぎるデータを将来の予測に用いることは適切でない場合がある。

直近90日から180日の日次終値データが用いられることが多い。また、ボラティリティの計算にあたって、時間を実日数ベースで考えるのか、 それとも営業日ベースで考えるのかということは重要な問題である。