フォワード・ボラティリティ

ボラティリティを分解する。

2021年12月5日

将来のある期間におけるボラティリティのことをフォワード・ボラティリティ（forward volatility）と言います。各期間の分散を年率換算し、その平方根をとることで計算できます。

長期のオプションほど低いIVを持つダウンワード（Downward）のタームストラクチャーになっていたとする。

ATMのIV

実際のオプションマーケットがこのような構造をとることはない。「ホライゾンタル・スキュー（Horizontal Skews）」がある状態であり、いずれ是正される。

ボラティリティは「年率換算した連続複利市ターンの分散の平方根」ということになる。分散（Variance）は、バラつきの蓄積に過ぎないので、足し算と引き算ができるのがポイントだ。

ボラティリティ（$\sigma$）を2乗してバリアンスに変換し、満期までの期間($T$)を掛けると、満期までのバリアンス（$\sigma ^2 T$）が得られる。

1月限オプションのIVは25%で期間が20日なので、現在から1月満期までのバリアンスは、

$$ (0.25)^2 \times \frac{20}{252} $$

となる。

同様に、現在から2月満期までのバリアンスは

$$ (0.23)^2 \times \frac{40}{252} $$

となる。

この2つのバリアンスの差は、1月限満期から2月限満期までのバリアンスを表す。

$$ (0.25)^2 \times \frac{20}{252} - (0.23)^2 \times \frac{40}{252} = 0.00344 $$

このようにして、各期間のバリアンスと求めると以下のようになる。

Variance

各期間のバリアンスを年率換算し、その平方根をとったものを「フォワード・ボラティリティ」と言う。 FVは将来のある期間におけるボラティリティを表す。

1月限満期日から2月限満期日までのFVの計算は以下のようになる。

$$ FV_{1-2} = \sqrt{\left( (0.23)^2 \times (\frac{40}{252}) - (0.25)^2 \times (\frac{20}{252} )\right) \times (\frac{252}{40 -20})} = 20.08 $$

4月限満期から5月限満期までのバリアンスは-0.00008で、マイナスの値をとっており、この期間のFVは計算できない。バリアンスはその性質上マイナスの値をとることは無い。

Apr/mayのカレンダー・スプレッドをロングすれば、4月限から5月限までのFVを無料もしくはマイナスコストでロングできる。

この結果、4月限のオプションは売られてIVが低下し、5月限のオプションはIVが上昇し、限月間の歪みは是正される。

FVを計算し、ある期間のFVが前後の限月のFVに比して歪みがある場合、トレードチャンスとなる。