1期間の2項モデルでボラティリティを理解する

カバードコール戦略により構築されたヘッジポートフォリオは、株価が上昇しようと下落しようと、その将来価値は同じく400円となる。

現在価値に割り引く

いずれのケースにしろ、カバードコール戦略により構築されたヘッジポートフォリオの「将来価値」は400円であった。 では、「現在価値」はいくらなのか。これが分かれば、自ずとコールの公正価格も知れるはずだ。

この考えが理論価格モデル導出するブラック・ショールズ論文の肝となる。「カバードコール戦略によって作られたヘッジポートフォリオがもたらすリターンは短期金利レートに等しい」とも表現できるだろう。

現在価値（PV）と将来価値（FV）は以下のような関係にある。 ここで「r」は金利で、「t」は時間を表す。

$$ PV(1 +r)^{t} = FV $$

rに短期金利レート、tに満期までの1年を代入する。tは年ベースが用いられるのが一般的だ。 この式は両辺を「1 + r」で割ることで、以下のように書き直せる。

$$ PV = \frac{FV}{1+r} $$

PV(現在価値)は、FV(将来価値)を「1 +r」で割った値（割り引いた値）と言える。 このような現在価値の計算方法を「将来価値（FV）を短期金利レート（r）で現在価値（PV）に割り引く（discount）」と言う。

コールの公正価格

ヘッジポートフォリオの現在価値は、ヘッジポートフォリオの将来価値を「1 + r」で割ることで求まる。

ヘッジポートフォリオの現在価値を以下のようにあらわす。

$$ 1単位の原株 - \frac{1}{\varDelta} \cdot C $$

後半部分は「コール（C）を1/$\varDelta$単位ショートする」という意味で、負の符号はショートポジションを示している。「・」は掛け算の記号である。

原株は1単位当たり現在800円で売買されており、この価格を式に代入する。 1/$\varDelta$は、上記で計算したように2である。

$$ 800 - 2C = \frac{400}{1 + r}$$

短期金利レートは、前提により10％であるので、r=0.1を右辺の分母に代入する。

$$ 800 - 2C = \frac{400}{1 + 0.1}$$

この式をCについて解けば、求めるコールの現在価値、つまり理論上の公正価格（fair price）が分かる。

$$ C = 218.18円 $$

ボラティリティが60％のケース

さて、ここからが本番だ。上記ではボラティリティ50％を想定したわけだが、これを60％とするとコールの公正価格はどう変化するのか。

原資産価格の値動き

現在800円の原株は、1期間の2項モデル（上昇:+60％、下落:-60%）に従うと、満期において以下の2通りの値を取る。

原資産価格の値動き = 上昇価格 - 下落価格 = 1280円 - 320円 = 960円

オプション価格の値動き

2通りの株価に対するコールの価値は以下のようになる。ただし、Sは株価、Kは権利行使価格（800円）。

オプション価格の値動き = 原株上昇の価格 - 原株下落の価格 = 480円 - 0円 = 480円

デルタの計算

$ \varDelta = \frac{オプション価格の値動き}{原資産価格の値動き} $

$ \varDelta = \frac{480}{960} $

$ \varDelta = \frac{1}{2} $

原資産価格800円に対し権利行使価格800円（= ATM）のコールのデルタは0.5と計算できた。 ボラティリティが上昇してもATMのコールのデルタは0.5で変わらない。

したがって、原株1単位のロングに対し、コールを2単位ショートすれば完全にヘッジできるはずである。

ポートフォリオの将来価値

株価が1280円に上昇した場合